東京大学
2011年 文系 第1問
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![xの3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dが,3つの条件f(1)=1,f(-1)=-1,∫_{-1}^{1}(bx^2+cx+d)dx=1を全て満たしているとする.このようなf(x)の中で定積分I=∫_{-1}^{1/2}{f^{\prime\prime}(x)}^2dxを最小にするものを求め,そのときのIの値を求めよ.ただし,f^{\prime\prime}(x)はf´(x)の導関数を表す.](./thumb/179/909/2011_1.png)
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$x$の3次関数$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$が,3つの条件
\[ f(1) = 1,\ \ f(-1)=-1,\ \ \int_{-1}^{1}(bx^2+cx+d)\, dx=1 \]
を全て満たしているとする.このような$f(x)$の中で定積分
\[ I = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} \{f^{\ \prime\prime}(x) \}^2\, dx \]
を最小にするものを求め,そのときの$I$の値を求めよ.ただし,$f^{\prime\prime}(x)$は$f^\prime(x)$の導関数を表す.
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