埼玉大学
2015年 工学部 第2問
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![xy平面上の点Pのx座標およびy座標がともに整数であるとき,Pを格子点とよぶ.また,自然数nに対して,連立不等式{\begin{array}{l}0≦x≦n\0≦y≦n\end{array}.の表す領域をRとする.R内の4つの格子点を頂点とする正方形の個数をq_nとする.次の問いに答えよ.(1)xy平面上の2点A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0)を結ぶ線分を1辺とする正方形ABCDを考える.点C,Dが第1象限に含まれるとき,C,Dの座標を求めよ.(2)kは自然数とする.4点(0,0),(k,0),(k,k),(0,k)を頂点とする正方形をEとする.Eの辺上の格子点(Eの頂点を含む)を4つの頂点とする正方形の個数を求めよ.(3)q_1,q_2,q_3を求めよ.(4)q_nを求めよ.](./thumb/118/1352/2015_2.png)
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$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標および$y$座標がともに整数であるとき,$\mathrm{P}$を格子点とよぶ.また,自然数$n$に対して,連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq n \\
0 \leqq y \leqq n
\end{array} \right. \]
の表す領域を$R$とする.$R$内の$4$つの格子点を頂点とする正方形の個数を$q_n$とする.次の問いに答えよ.
(1) $xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ b) \ \ (a>0,\ b>0)$を結ぶ線分を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABCD}$を考える.点$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$が第$1$象限に含まれるとき,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$の座標を求めよ.
(2) $k$は自然数とする.$4$点$(0,\ 0)$,$(k,\ 0)$,$(k,\ k)$,$(0,\ k)$を頂点とする正方形を$E$とする.$E$の辺上の格子点($E$の頂点を含む)を$4$つの頂点とする正方形の個数を求めよ.
(3) $q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ.
(4) $q_n$を求めよ.
(1) $xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ b) \ \ (a>0,\ b>0)$を結ぶ線分を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABCD}$を考える.点$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$が第$1$象限に含まれるとき,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$の座標を求めよ.
(2) $k$は自然数とする.$4$点$(0,\ 0)$,$(k,\ 0)$,$(k,\ k)$,$(0,\ k)$を頂点とする正方形を$E$とする.$E$の辺上の格子点($E$の頂点を含む)を$4$つの頂点とする正方形の個数を求めよ.
(3) $q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ.
(4) $q_n$を求めよ.
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