熊本大学
2014年 文系 第4問
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$1$次関数$f_n(x)=a_nx+b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は以下の$2$つの条件を満たすとする．
(ⅰ) $f_1(x)=x$
(ⅱ) $f_{n+1}(x)$は整式$\displaystyle P_n(x)=\int_1^x 6tf_n(t) \, dt$を$x^2+x$で割ったときの余りに等しい．
以下の問いに答えよ．
(1) $n \geqq 1$のとき，$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(2) $n \geqq 2$のとき，$|a_n|$と$|b_n|$は偶数であることを示せ．
(3) $n \geqq 2$のとき，$|a_n|$と$|b_n|$は$3$の倍数ではないことを示せ．
(ⅰ) $f_1(x)=x$
(ⅱ) $f_{n+1}(x)$は整式$\displaystyle P_n(x)=\int_1^x 6tf_n(t) \, dt$を$x^2+x$で割ったときの余りに等しい．
以下の問いに答えよ．
(1) $n \geqq 1$のとき，$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(2) $n \geqq 2$のとき，$|a_n|$と$|b_n|$は偶数であることを示せ．
(3) $n \geqq 2$のとき，$|a_n|$と$|b_n|$は$3$の倍数ではないことを示せ．
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