空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$を満たす点，点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$を満たす点とし，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OA}$の中点とする．以下の問いに答えよ．
(1) $0<t<1$に対し，$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{CE}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．また，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2) $\triangle \mathrm{OMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ．