慶應義塾大学
2016年 理工学部 第2問
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$f(x)$は$2$次関数であり,$f(0)=f(1)=0$を満たすとする.
(1) $\displaystyle a=\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(0)$とする.このとき,$f(x)$は$a$を用いて$f(x)=\fbox{キ}$と表される.
(2) 定積分 \[ \int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx \] の値が最も小さくなるのは$f(x)=\fbox{ク}$のときである.また,そのときの定積分の値は$\fbox{ケ}$である.
以下では,$f(x)=\fbox{ク}$,$m=\fbox{ケ}$とする.
(3) 関数$h(x)$は$h(0)=h(1)=0$を満たし,その導関数$h^\prime(x)$は連続であるとする.さらに,$I$と$J$を
$\displaystyle I=\int_0^1 \{(f^\prime(x)+h^\prime(x)-x)^2-(f(x)+h(x))\} \, dx$
$\displaystyle J=\int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx+\int_0^1 (h^\prime(x))^2 \, dx$
で定める.このとき,等式 \[ I=J \] を証明しなさい.
(4) 関数$g(x)$は$g(0)=g(1)=0$を満たし,その導関数$g^\prime(x)$は連続であるとする.このとき,不等式 \[ \int_0^1 \{(g^\prime(x)-x)^2-g(x)\} \, dx \geqq m \] を証明しなさい.
(1) $\displaystyle a=\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(0)$とする.このとき,$f(x)$は$a$を用いて$f(x)=\fbox{キ}$と表される.
(2) 定積分 \[ \int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx \] の値が最も小さくなるのは$f(x)=\fbox{ク}$のときである.また,そのときの定積分の値は$\fbox{ケ}$である.
以下では,$f(x)=\fbox{ク}$,$m=\fbox{ケ}$とする.
(3) 関数$h(x)$は$h(0)=h(1)=0$を満たし,その導関数$h^\prime(x)$は連続であるとする.さらに,$I$と$J$を
$\displaystyle I=\int_0^1 \{(f^\prime(x)+h^\prime(x)-x)^2-(f(x)+h(x))\} \, dx$
$\displaystyle J=\int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx+\int_0^1 (h^\prime(x))^2 \, dx$
で定める.このとき,等式 \[ I=J \] を証明しなさい.
(4) 関数$g(x)$は$g(0)=g(1)=0$を満たし,その導関数$g^\prime(x)$は連続であるとする.このとき,不等式 \[ \int_0^1 \{(g^\prime(x)-x)^2-g(x)\} \, dx \geqq m \] を証明しなさい.
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