座標平面上に$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を取る．$\mathrm{P}_0$を通り$y$軸と平行な直線と曲線$\displaystyle C:y=\frac{5x+3}{x+3}$との交点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$とする．次に，$\mathrm{P}_1$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\ell:y=x$との交点を$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とする．さらに，$\mathrm{P}_2$を通り$y$軸と平行な直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_3(x_3,\ y_3)$とし，$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\ell$との交点を$\mathrm{P}_4(x_4,\ y_4)$とする．以下この操作を続けて点列$\mathrm{P}_5(x_5,\ y_5)$，$\mathrm{P}_6(x_6,\ y_6)$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$，$\cdots$を定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 曲線$C$のグラフを描け．また，その漸近線を求めよ．
(2) $\displaystyle z_n=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}$を求めよ．
(3) 数列$\{z_n\}$はどのような数列か．また，その一般項$z_n$を求めよ．
(4) 数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．