東京理科大学
2015年 工(建築・電気工) 第1問
1
1
$\fbox{}$内に$0$から$9$までの数字を$1$つずつ入れよ.
(1) $a$を正の定数とし,関数 \[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \ \ \text{および} \ \ g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \] に対して,曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする.曲線$y=f(x)$と$x$軸,および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える.
(ⅰ) $a=\fbox{ア}$のとき,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である.このとき$\displaystyle S=\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \times \log \fbox{エ}$である.
(ⅱ) $a=\sqrt{\fbox{オ}}$のとき,$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である.
ただし,正の数$A$に対して,$\log A$は$A$の自然対数を表す.
(2) $1$個のサイコロを投げ,その出た目によって,点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す.
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし,$1$回目の試行(移動)後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$,$2$回目の試行(移動)後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$,以下同様に$k$回目の試行(移動)後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする.
座標$(x_k,\ y_k) \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める.
サイコロを$k$回目に投げたとき,出た目を$3$で割った商を$q$,余りを$r$として,$x_k$を次のように$q$によって定め, \[ \left\{ \begin{array}{ll} q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\ q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\ q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1 \end{array} \right. \] $y_k$を次のように$r$によって定める. \[ \left\{ \begin{array}{ll} r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\ r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\ r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1 \end{array} \right. \] ただし,サイコロを投げたとき,$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする.
(ⅰ) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$であり,$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エオ}}$である.
(ⅱ) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると,$\displaystyle p_1=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$であり, \[ p_k=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \cdot \left( -\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \right)^k+\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \] である.
(3) $1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において,辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$($\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$),辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$($\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$),辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする.
(ⅰ) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{\fbox{ア}}}{\fbox{イ}}$,$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{\fbox{ウエ}}}{\fbox{オ}}$である.
(ⅱ) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キク}} \times \sqrt{\fbox{ケコ}}$である.
(ⅲ) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}}$となる点$\mathrm{R}$は,$3$点$\mathrm{M}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある.
(1) $a$を正の定数とし,関数 \[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \ \ \text{および} \ \ g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \] に対して,曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする.曲線$y=f(x)$と$x$軸,および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える.
(ⅰ) $a=\fbox{ア}$のとき,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である.このとき$\displaystyle S=\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \times \log \fbox{エ}$である.
(ⅱ) $a=\sqrt{\fbox{オ}}$のとき,$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である.
ただし,正の数$A$に対して,$\log A$は$A$の自然対数を表す.
(2) $1$個のサイコロを投げ,その出た目によって,点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す.
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし,$1$回目の試行(移動)後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$,$2$回目の試行(移動)後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$,以下同様に$k$回目の試行(移動)後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする.
座標$(x_k,\ y_k) \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める.
サイコロを$k$回目に投げたとき,出た目を$3$で割った商を$q$,余りを$r$として,$x_k$を次のように$q$によって定め, \[ \left\{ \begin{array}{ll} q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\ q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\ q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1 \end{array} \right. \] $y_k$を次のように$r$によって定める. \[ \left\{ \begin{array}{ll} r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\ r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\ r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1 \end{array} \right. \] ただし,サイコロを投げたとき,$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする.
(ⅰ) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$であり,$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エオ}}$である.
(ⅱ) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると,$\displaystyle p_1=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$であり, \[ p_k=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \cdot \left( -\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \right)^k+\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \] である.
(3) $1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において,辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$($\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$),辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$($\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$),辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする.
(ⅰ) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{\fbox{ア}}}{\fbox{イ}}$,$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{\fbox{ウエ}}}{\fbox{オ}}$である.
(ⅱ) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キク}} \times \sqrt{\fbox{ケコ}}$である.
(ⅲ) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}}$となる点$\mathrm{R}$は,$3$点$\mathrm{M}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある.
関連問題(関連度順)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。