大阪市立大学
2011年 文系 第2問
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座標空間を運動する$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の時刻$t$における座標をそれぞれ$(t,\ 0,\ t)$,$(\sqrt{2}t,\ 1-2t,\ \sqrt{2}(1-t))$,$(-t,\ -\sqrt{2}t,\ t)$とする.原点を$\mathrm{O}$と記すとき,次の問いに答えよ.ただし,$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を示せ.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S(t)$は$t(1-2t)$であることを示せ.
(3) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V(t)$の$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$における最大値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を示せ.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S(t)$は$t(1-2t)$であることを示せ.
(3) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V(t)$の$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$における最大値を求めよ.
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