九州工業大学
2013年 工学部 第2問
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$a,\ b$を実数とし,行列$A$を$2$次の正方行列とする.$x,\ y$についての連立$1$次方程式を,行列を用いて
\[ A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \hfill \cdots\cdots (\ast) \]
と表す.次に答えよ.
(1) $A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{array} \right)$のとき,連立$1$次方程式$(\ast)$を解け.
(2) $c$を実数とし,$a \neq 0,\ b \neq 0$とする.また,$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & 1 \end{array} \right)$とする.
(ⅰ) $a \neq bc$とする.連立$1$次方程式$(\ast)$がただ$1$つの解をもつことを示せ.また,連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$もただ$1$つの解をもつことを示せ.
(ⅱ) 連立$1$次方程式$(\ast)$が解をもたないための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.この条件が成り立つとき,連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$も解をもたないことを示せ.
(ⅲ) 連立$1$次方程式$(\ast)$が解を無数にもつための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.この条件が成り立つとき,自然数$m$に対して,連立$1$次方程式 \[ (A+A^2+A^3+\cdots +A^{2m-1}) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \] も解を無数にもつことを示せ.
(1) $A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{array} \right)$のとき,連立$1$次方程式$(\ast)$を解け.
(2) $c$を実数とし,$a \neq 0,\ b \neq 0$とする.また,$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & 1 \end{array} \right)$とする.
(ⅰ) $a \neq bc$とする.連立$1$次方程式$(\ast)$がただ$1$つの解をもつことを示せ.また,連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$もただ$1$つの解をもつことを示せ.
(ⅱ) 連立$1$次方程式$(\ast)$が解をもたないための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.この条件が成り立つとき,連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$も解をもたないことを示せ.
(ⅲ) 連立$1$次方程式$(\ast)$が解を無数にもつための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.この条件が成り立つとき,自然数$m$に対して,連立$1$次方程式 \[ (A+A^2+A^3+\cdots +A^{2m-1}) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \] も解を無数にもつことを示せ.
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