同志社大学
2015年 理工学部 第3問
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座標空間内の$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 5,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ 2,\ 0)$,$\mathrm{C}(-2,\ 0,\ 0)$がある.また,点$\mathrm{P}(p,\ q,\ r) \ \ (r>0)$があり,$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PC}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PA}}$であるとする.次の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{P}$の座標$(p,\ q,\ r)$を求めよ.
(2) 四面体$\mathrm{PABC}$の体積を求めよ.
(3) 点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線の足$\mathrm{H}(p,\ q,\ 0)$に対して,内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CH}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ求めよ.
(1) 点$\mathrm{P}$の座標$(p,\ q,\ r)$を求めよ.
(2) 四面体$\mathrm{PABC}$の体積を求めよ.
(3) 点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線の足$\mathrm{H}(p,\ q,\ 0)$に対して,内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CH}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ求めよ.
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