旭川医科大学
2016年 医学部 第1問
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![I_n=∫_0^{π/4}tan^nxdx(n=1,2,3,・・・)とおく.このとき,次の問いに答えよ.(1)tanx≦x+1-π/4(0≦x≦π/4)が成り立つことを示せ.(2)\lim_{n→∞}I_nを求めよ.(3)I_n+I_{n+2}の値をnを用いて表せ.(4)(3)までの結果を用いて,無限級数Σ_{n=1}^∞\frac{{(-1)}^{n+1}}{2n}の和を求めよ.](./thumb/1/1/2016_1.png)
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$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle \tan x \leqq x+1-\frac{\pi}{4} \ \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$が成り立つことを示せ.
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ.
(3) $I_n+I_{n+2}$の値を$n$を用いて表せ.
(4) $(3)$までの結果を用いて,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^{n+1}}{2n}$の和を求めよ.
(1) $\displaystyle \tan x \leqq x+1-\frac{\pi}{4} \ \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$が成り立つことを示せ.
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ.
(3) $I_n+I_{n+2}$の値を$n$を用いて表せ.
(4) $(3)$までの結果を用いて,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^{n+1}}{2n}$の和を求めよ.
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