埼玉大学
2013年 理学部 第1問
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![a,bを0でない実数とし,A=(\begin{array}{cc}0&a^2\-b^2&2ab\end{array}),E=(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array}),O=(\begin{array}{cc}0&0\0&0\end{array})とする.さらに,実数pを,B=A-pEがB^2=Oを満たすように定める.(1)pをa,bを用いて表せ.(2)自然数nに対し,A^n=sE+tB(s,t は実数 )と表すとき,s,tをn,a,bを用いて表せ.(3)自然数nに対し,A^n(\begin{array}{c}a\r\end{array})=q(\begin{array}{c}a\r\end{array})を満たす実数qとrをn,a,bを用いて表せ.](./thumb/118/1351/2013_1.png)
1
$a,\ b$を0でない実数とし,
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
0 & a^2 \\
-b^2 & 2ab
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
とする.さらに,実数$p$を,$B=A-pE$が$B^2=O$を満たすように定める.
(1) $p$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) 自然数$n$に対し, \[ A^n=sE+tB \quad (s,\ t \text{は実数}) \] と表すとき,$s,\ t$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ.
(3) 自然数$n$に対し, \[ A^n \left( \begin{array}{c} a \\ r \end{array} \right)=q \left( \begin{array}{c} a \\ r \end{array} \right) \] を満たす実数$q$と$r$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ.
(1) $p$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) 自然数$n$に対し, \[ A^n=sE+tB \quad (s,\ t \text{は実数}) \] と表すとき,$s,\ t$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ.
(3) 自然数$n$に対し, \[ A^n \left( \begin{array}{c} a \\ r \end{array} \right)=q \left( \begin{array}{c} a \\ r \end{array} \right) \] を満たす実数$q$と$r$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ.
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