明治大学
2011年 全学部(理工) 第1問
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![次の空欄[ア]から[カ]に当てはまるものをそれぞれ入れよ.ただしlogは自然対数,またeはその底である.(1)円柱Cの底面の半径をr,高さをhとする.Cの体積がVであるときCの表面積SをrとVで表せばS=2πr^{[ア]}+2Vr^{[イ]}となる.したがって体積Vを一定にしたままSを最小にするためにはr=(\frac{V}{[ウ]})^{1/3}とすればよい.このときrとhの間にはr=[エ]hの関係がある.(2)次の問いに答えよ.(i)\lim_{n→∞}\frac{log(n+5)}{log(n+2)}=[オ](ii)数列{a_n},{b_n}をそれぞれa_n=(n+5)^{-2n+1},b_n=\frac{1}{nlog(n+2)}で定める.このとき\lim_{n→∞}(a_n)^{b_n}=[カ]となる.](./thumb/294/3239/2011_1.png)
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次の空欄$\fbox{ア}$から$\fbox{カ}$に当てはまるものをそれぞれ入れよ.ただし$\log$は自然対数,また$e$はその底である.
(1) 円柱$C$の底面の半径を$r$,高さを$h$とする.$C$の体積が$V$であるとき$C$の表面積$S$を$r$と$V$で表せば \[ S=2 \pi r^{\fbox{ア}}+2Vr^{\fbox{イ}} \] となる.したがって体積$V$を一定にしたまま$S$を最小にするためには \[ r=\left( \frac{V}{\fbox{ウ}} \right)^{\frac{1}{3}} \] とすればよい.このとき$r$と$h$の間には$r=\fbox{エ}h$の関係がある.
(2) 次の問いに答えよ.
(ⅰ) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log (n+5)}{\log (n+2)}=\fbox{オ}$
(ⅱ) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ \[ a_n=(n+5)^{-2n+1},\quad b_n=\frac{1}{n \log (n+2)} \] で定める.このとき \[ \lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n}=\fbox{カ} \] となる.
(1) 円柱$C$の底面の半径を$r$,高さを$h$とする.$C$の体積が$V$であるとき$C$の表面積$S$を$r$と$V$で表せば \[ S=2 \pi r^{\fbox{ア}}+2Vr^{\fbox{イ}} \] となる.したがって体積$V$を一定にしたまま$S$を最小にするためには \[ r=\left( \frac{V}{\fbox{ウ}} \right)^{\frac{1}{3}} \] とすればよい.このとき$r$と$h$の間には$r=\fbox{エ}h$の関係がある.
(2) 次の問いに答えよ.
(ⅰ) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log (n+5)}{\log (n+2)}=\fbox{オ}$
(ⅱ) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ \[ a_n=(n+5)^{-2n+1},\quad b_n=\frac{1}{n \log (n+2)} \] で定める.このとき \[ \lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n}=\fbox{カ} \] となる.
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