獨協医科大学
2015年 医学部 第4問
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$xy$平面上に直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある.自然数$n$に対して,この平面上に,正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$を次のように定める.
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \mathrm{A}_1 \left( \frac{1}{3},\ 0 \right) \\
\text{正方形の頂点は時計回りに$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{B}_n,\ \mathrm{C}_n,\ \mathrm{D}_n$とする.} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{D}_n$は$x$軸上にあり,頂点$\mathrm{B}_n$は直線$\ell$上にある.} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標は頂点$\mathrm{D}_n$の$x$座標より小さい.} \\
\text{頂点$\mathrm{D}_n$を頂点$\mathrm{A}_{n+1}$とする.}
\end{array} \right. \]
頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標を$x_n$,正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の面積を$S_n$とする.
(1) 正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の$1$辺の長さは$\displaystyle \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}x_n$である.
また,正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}x_n,\ \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}x_n \right)$であるから,すべての自然数$n$に対して正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点は直線$\displaystyle y=\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}x$上にある.
(2) $x_{n+1}$を$x_n$で表すと$\displaystyle x_{n+1}=\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}x_n$である.よって$\displaystyle x_n=\frac{3^{\mkakko{サ}}}{2^{\mkakko{シ}}}$である.ただし,$\fbox{サ}$,$\fbox{シ}$には,次の$\nagamaruichi$~$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと. \[ \nagamaruichi \ \ -n-1 \qquad \nagamaruni \ \ -n \qquad \nagamarusan \ \ n-2 \qquad \nagamarushi \ \ n-1 \qquad \nagamarugo \ \ n \qquad \nagamaruroku \ \ n+1 \]
(3) $\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n S_k$とおく.$T_n>1$となる最小の$n$は$\fbox{ス}$である.
(1) 正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の$1$辺の長さは$\displaystyle \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}x_n$である.
また,正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}x_n,\ \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}x_n \right)$であるから,すべての自然数$n$に対して正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点は直線$\displaystyle y=\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}x$上にある.
(2) $x_{n+1}$を$x_n$で表すと$\displaystyle x_{n+1}=\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}x_n$である.よって$\displaystyle x_n=\frac{3^{\mkakko{サ}}}{2^{\mkakko{シ}}}$である.ただし,$\fbox{サ}$,$\fbox{シ}$には,次の$\nagamaruichi$~$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと. \[ \nagamaruichi \ \ -n-1 \qquad \nagamaruni \ \ -n \qquad \nagamarusan \ \ n-2 \qquad \nagamarushi \ \ n-1 \qquad \nagamarugo \ \ n \qquad \nagamaruroku \ \ n+1 \]
(3) $\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n S_k$とおく.$T_n>1$となる最小の$n$は$\fbox{ス}$である.
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