熊本大学
2015年 医学部（医学科） 第2問
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$p,\ q,\ r$を実数とする．空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,\ p,\ 0)$，$\mathrm{B}(q,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ r)$が一直線上にあるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$を原点とする．
(1) $p$は$1$でも$-1$でもないことを示せ．
(2) $q,\ r$を$p$を用いて表せ．
(3) $p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を実数とし，空間内の$3$点を$\mathrm{A}^\prime(1,\ p^\prime,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(q^\prime,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}^\prime(-1,\ -1,\ r^\prime)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとき，$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を$p$を用いて表せ．
(4) $(3)$における$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$は一直線上にないことを示せ．
(1) $p$は$1$でも$-1$でもないことを示せ．
(2) $q,\ r$を$p$を用いて表せ．
(3) $p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を実数とし，空間内の$3$点を$\mathrm{A}^\prime(1,\ p^\prime,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(q^\prime,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}^\prime(-1,\ -1,\ r^\prime)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとき，$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を$p$を用いて表せ．
(4) $(3)$における$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$は一直線上にないことを示せ．
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