慶應義塾大学
2014年 薬学部 第4問
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正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{OC}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{F}$とする.ただし,$m$は$0<m<1$を満たす実数の定数とする.$\mathrm{E}$から$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{EH}$を下ろし,直線$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{I}$とする.三角形$\mathrm{ODE}$の面積は$\displaystyle \frac{9 \sqrt{3}}{4}$であり,四面体$\mathrm{ODEF}$の体積は正四面体$\mathrm{OABC}$の体積の$\displaystyle \frac{5}{54}$倍である.このとき,
(1) 正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さは$\fbox{$63$} \sqrt{\fbox{$64$}}$であり,体積は$\fbox{$65$}\fbox{$66$} \sqrt{\fbox{$67$}}$である.
(2) $\displaystyle m=\frac{\fbox{$68$}}{\fbox{$69$}}$である.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表すと,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{\fbox{$70$}\fbox{$71$}}{\fbox{$72$}\fbox{$73$}} \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{\fbox{$74$}}{\fbox{$75$}\fbox{$76$}} \overrightarrow{\mathrm{OF}}$である.
(1) 正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さは$\fbox{$63$} \sqrt{\fbox{$64$}}$であり,体積は$\fbox{$65$}\fbox{$66$} \sqrt{\fbox{$67$}}$である.
(2) $\displaystyle m=\frac{\fbox{$68$}}{\fbox{$69$}}$である.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表すと,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{\fbox{$70$}\fbox{$71$}}{\fbox{$72$}\fbox{$73$}} \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{\fbox{$74$}}{\fbox{$75$}\fbox{$76$}} \overrightarrow{\mathrm{OF}}$である.
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