山形大学
2015年 工学部 第3問
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数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を
$\displaystyle a_n=(-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
と定めるとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．
(1) $a_1=\log 2-1$を示せ．
(2) $\displaystyle b_n=\frac{{(-1)}^{n+1}}{n+1}$を示せ．
(3) $\displaystyle a_n=\log 2-\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k+1}}{k} \ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(4) $x \geqq 0$のとき$\displaystyle \frac{1}{1+x} \leqq 1$であることを用いて，$\displaystyle |a_n| \leqq \frac{1}{n+1}$を示せ．
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{{(-1)}^{k+1}}{k}$を求めよ．
$\displaystyle a_n=(-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
と定めるとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．
(1) $a_1=\log 2-1$を示せ．
(2) $\displaystyle b_n=\frac{{(-1)}^{n+1}}{n+1}$を示せ．
(3) $\displaystyle a_n=\log 2-\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k+1}}{k} \ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(4) $x \geqq 0$のとき$\displaystyle \frac{1}{1+x} \leqq 1$であることを用いて，$\displaystyle |a_n| \leqq \frac{1}{n+1}$を示せ．
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{{(-1)}^{k+1}}{k}$を求めよ．
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コメント（1件）
2015-12-13 11:07:56
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