高知工科大学
2010年 理系 第4問
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$r$と$\theta$を$-1<r<1,\ 0 \leqq \theta < 2\pi$を満たす定数とする．行列$A=r \left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対して，次の各問に答えよ．
(1) 行列$E-A$は逆行列を持つことを証明し，$(E-A)^{-1}$を求めよ．
(2) 全ての自然数$n$について \[ A^n=r^n \left( \begin{array}{rr} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{array} \right) \] が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3) $n$を2以上の自然数とする．$(E+A+\cdots +A^{n-1})(E-A)$を簡単な式にせよ．
(4) 次の極限値を求めよ． \[ \maruichi \quad \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \cos k\theta \hfill \maruni \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \sin k\theta \hfill \]
(1) 行列$E-A$は逆行列を持つことを証明し，$(E-A)^{-1}$を求めよ．
(2) 全ての自然数$n$について \[ A^n=r^n \left( \begin{array}{rr} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{array} \right) \] が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3) $n$を2以上の自然数とする．$(E+A+\cdots +A^{n-1})(E-A)$を簡単な式にせよ．
(4) 次の極限値を求めよ． \[ \maruichi \quad \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \cos k\theta \hfill \maruni \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \sin k\theta \hfill \]
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