関数列 \[ f_n(x)=x^{n-1},\quad g_n(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}f_k(x) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \] について，次の各問に答えよ．
(1) $\displaystyle F_n(x) = \int_0^x f_n(t) \, dt$を求めよ．
(2) $\{g_n(x)\}$が数列として収束するための実数$x$の条件を求めよ．また，$x$がこの条件を満たすとき$\displaystyle g(x)=\lim_{n \to \infty}g_n(x)$とおく． \[ \int_0^x g(t) \, dt \] を求めよ．
(3) (1)の$F_n(x)$について \[ -F_{n+1}(1) \leqq \int_0^1 \frac{(-1)^n f_{n+1}(t)}{1+t} \, dt \leqq F_{n+1}(1) \] が成り立つことを証明せよ．
(4) 無限級数 \[ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots \] の収束，発散について調べ，収束すればその和を求めよ．