高知工科大学
2011年 理系 第4問
4
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行列$A=\biggl( \begin{array}{rr}
-1 & -4 \\
4 & 7
\end{array} \biggr),\ E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$に対して，$N=A-kE$とおく．ただし，$k$は実数の定数である．このとき，次の各問に答えよ．
(1) $N^2=O$となるように，$k$の値を定めよ．ただし，$O$は零行列である．
(2) $n$を正の整数として，$A^n$を求めよ．
(3) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が \[ a_1=b_1=1,\quad a_{n+1}=-a_n-4b_n,\quad b_{n+1}=4a_n+7b_n \] で与えられるとき，一般項$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(1) $N^2=O$となるように，$k$の値を定めよ．ただし，$O$は零行列である．
(2) $n$を正の整数として，$A^n$を求めよ．
(3) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が \[ a_1=b_1=1,\quad a_{n+1}=-a_n-4b_n,\quad b_{n+1}=4a_n+7b_n \] で与えられるとき，一般項$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
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