高知工科大学
2011年 文系 第4問
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次の各問に答えよ．
(1) $x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ．
(3) 関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4) $n$を自然数とする．$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ．
(1) $x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ．
(3) 関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4) $n$を自然数とする．$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ．
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