山口大学
2014年 理(数理科学)・医 第1問
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$a,\ b$を実数とする.行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$について,次の問いに答えなさい.
(1) すべての自然数$n$に対して, \[ A^n=\left( \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ b_n & a_n \end{array} \right) \] となる実数$a_n,\ b_n$があることを数学的帰納法で示し,$a_n$,$b_n$を用いて$a_{n+1}$,$b_{n+1}$を表しなさい.
(2) $c_n=a_n+b_n$,$d_n=a_n-b_n$とおく.数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め,$a,\ b,\ n$を用いて$c_n,\ d_n$を表しなさい.
(3) $a,\ b,\ n$を用いて$a_n,\ b_n$を表しなさい.
(1) すべての自然数$n$に対して, \[ A^n=\left( \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ b_n & a_n \end{array} \right) \] となる実数$a_n,\ b_n$があることを数学的帰納法で示し,$a_n$,$b_n$を用いて$a_{n+1}$,$b_{n+1}$を表しなさい.
(2) $c_n=a_n+b_n$,$d_n=a_n-b_n$とおく.数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め,$a,\ b,\ n$を用いて$c_n,\ d_n$を表しなさい.
(3) $a,\ b,\ n$を用いて$a_n,\ b_n$を表しなさい.
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