上智大学
2015年 文(哲),法(国際),外国語(ドイツ、ポルトガル) 第2問
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座標平面上の点$(\alpha,\ 1) \ \ (\alpha>0)$を中心とする円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$が共に点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{2}t^2 \right)$で直線$\ell$と接している.
(1) $\alpha$を$t$の式で表すと \[ \alpha=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}t^3 \] である.
以下では,$C$が$x$軸と接する場合を考える.$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{H}$とする.
(2) $\displaystyle \alpha=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \sqrt{\fbox{シ}}$である.
(3) $\ell$の方程式は \[ y=\sqrt{\fbox{ス}}x+\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \] である.
(4) $C$の弧$\mathrm{PH}$のうちの短い方と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$および$x$軸とで囲まれる図形の面積は \[ \frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}} \sqrt{\fbox{ツ}}+\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}\pi \] である.
(1) $\alpha$を$t$の式で表すと \[ \alpha=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}t^3 \] である.
以下では,$C$が$x$軸と接する場合を考える.$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{H}$とする.
(2) $\displaystyle \alpha=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \sqrt{\fbox{シ}}$である.
(3) $\ell$の方程式は \[ y=\sqrt{\fbox{ス}}x+\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \] である.
(4) $C$の弧$\mathrm{PH}$のうちの短い方と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$および$x$軸とで囲まれる図形の面積は \[ \frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}} \sqrt{\fbox{ツ}}+\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}\pi \] である.
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