金沢大学
2011年 理系 第4問
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次の問いに答えよ.
(1) 自然数$n$に対して,$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ.また \[ \frac{1}{n+1} < \log (n+1) -\log n < \frac{1}{n} \] を示せ.
(2) 2以上の自然数$n$に対して \[ \log (n+1) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < 1+\log n \] を示せ.
(3) 2以上の自然数$n$に対して \[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{ee^{\frac{1}{2}}e^{\frac{1}{3}} \cdots e^{\frac{1}{k}}} > \frac{1}{e} \log (n+1) \] を示せ.
(1) 自然数$n$に対して,$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ.また \[ \frac{1}{n+1} < \log (n+1) -\log n < \frac{1}{n} \] を示せ.
(2) 2以上の自然数$n$に対して \[ \log (n+1) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < 1+\log n \] を示せ.
(3) 2以上の自然数$n$に対して \[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{ee^{\frac{1}{2}}e^{\frac{1}{3}} \cdots e^{\frac{1}{k}}} > \frac{1}{e} \log (n+1) \] を示せ.
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