北海道大学
2015年 理系 第3問
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空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 1)$の定める平面を$\alpha$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく.$\alpha$上の点$\mathrm{C}$があり,その$x$座標が正であるとする.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{a}$に垂直で,大きさが$1$であるとする.$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.
(1) $\mathrm{C}$の座標を求めよ.
(2) $\overrightarrow{b}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t$を求めよ.
(3) $\alpha$上にない点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$から$\alpha$に垂線を下ろし,$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k \overrightarrow{a}+l \overrightarrow{c}$をみたす実数$k,\ l$を$x,\ y,\ z$で表せ.
(1) $\mathrm{C}$の座標を求めよ.
(2) $\overrightarrow{b}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t$を求めよ.
(3) $\alpha$上にない点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$から$\alpha$に垂線を下ろし,$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k \overrightarrow{a}+l \overrightarrow{c}$をみたす実数$k,\ l$を$x,\ y,\ z$で表せ.
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