岐阜大学
2013年 理系 第7問
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$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{d}$は空間のベクトルであり,次の条件を満たしている.
\[ \begin{array}{l}
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1
\end{array} \]
以下の問に答えよ.ここで$2$つのベクトルのなす角$\theta$は$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$である.
(1) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角が等しいことを示せ.
(2) 内積$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$が$0$であることを示せ.
(3) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角が等しいとする.このとき,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は,$\cos \theta \leqq 0$を満たすことを示せ.
(1) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角が等しいことを示せ.
(2) 内積$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$が$0$であることを示せ.
(3) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角が等しいとする.このとき,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は,$\cos \theta \leqq 0$を満たすことを示せ.
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