岐阜大学
2014年 理系 第5問
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$n$を正の整数とし，$x \geqq 0$とする．以下の問に答えよ．
(1) $\displaystyle r_n(x)=e^x-\left( 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots +\frac{1}{n!}x^n \right)$とする．$r_n(x) \geqq 0$を$n$に関する数学的帰納法を使って示せ．
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^n e^{-x}=0$を示せ．
(3) $t \geqq 0$とし，$\displaystyle f(t)=\int_0^t x^n e^{-x} \, dx$とする．$\displaystyle \lim_{t \to \infty}f(t)$を求めよ．
(1) $\displaystyle r_n(x)=e^x-\left( 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots +\frac{1}{n!}x^n \right)$とする．$r_n(x) \geqq 0$を$n$に関する数学的帰納法を使って示せ．
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^n e^{-x}=0$を示せ．
(3) $t \geqq 0$とし，$\displaystyle f(t)=\int_0^t x^n e^{-x} \, dx$とする．$\displaystyle \lim_{t \to \infty}f(t)$を求めよ．
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