福井大学
2014年 医学部 第4問
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![以下の問いに答えよ．(1)nを正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底eは無理数であることを証明せずに用いてよい．(i)等式∫_0^1t^ne^tdt=a_ne+b_nが成り立つ整数a_n，b_nがただ1組存在することを示せ．(ii)a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}の値を求めよ．(2)区間[0,π/2]で連続な関数f(x)に対し，等式∫_0^{π/2}f(x)dx=∫_0^{π/2}f(π/2-x)dxが成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ．∫_0^{π/2}\frac{sin3x}{sinx+cosx}dx](./thumb/366/2546/2014_4.png)
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以下の問いに答えよ．
(1) $n$を正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい．
(ⅰ) 等式$\displaystyle \int_0^1 t^ne^t \, dt=a_ne+b_n$が成り立つ整数$a_n$，$b_n$がただ$1$組存在することを示せ．
(ⅱ) $a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$の値を求めよ．
(2) 区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{\pi}{2} \right]$で連続な関数$f(x)$に対し，等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \, dx$が成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ． \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x} \, dx \]
(1) $n$を正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい．
(ⅰ) 等式$\displaystyle \int_0^1 t^ne^t \, dt=a_ne+b_n$が成り立つ整数$a_n$，$b_n$がただ$1$組存在することを示せ．
(ⅱ) $a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$の値を求めよ．
(2) 区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{\pi}{2} \right]$で連続な関数$f(x)$に対し，等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \, dx$が成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ． \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x} \, dx \]
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