0以上の整数$n$に対して \[ a_n=\int_0^1 e^{-x}x^n \, dx \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \] とおく．ここで$e$は自然対数の底である．次の各問に答えよ．
(1) $a_0$と$a_1$を求めよ．
(2) $a_{n+1}$と$a_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3) 等式 \[ \frac{a_n}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right) \] が成り立つことを証明せよ．
(4) 次式が成り立つことを証明せよ． \[ \maru{1} \ 0 \leqq a_n \leqq a_0 \qquad \maru{2} \ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)=e \]