香川大学
2015年 法学部 第3問
3
![数列{a_n}は,a_1=2,a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2}(n=1,2,3,・・・)で定められているとする.このとき,次の問に答えよ.(1)nが自然数のとき,数学的帰納法を用いて√2<a_nを示せ.(2)nが自然数のとき,a_{n+1}<a_nを示せ.(3)nが自然数のとき,数学的帰納法を用いてa_n-√2≦\frac{(2-√2)^n}{3^{n-1}}を示せ.](./thumb/665/2849/2015_3.png)
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数列$\{a_n\}$は,
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとする.このとき,次の問に答えよ.
(1) $n$が自然数のとき,数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ.
(2) $n$が自然数のとき,$a_{n+1}<a_n$を示せ.
(3) $n$が自然数のとき,数学的帰納法を用いて \[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \] を示せ.
(1) $n$が自然数のとき,数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ.
(2) $n$が自然数のとき,$a_{n+1}<a_n$を示せ.
(3) $n$が自然数のとき,数学的帰納法を用いて \[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \] を示せ.
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