平面上に三角形$\mathrm{OAB}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) 線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2) 線分$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$，線分$\mathrm{OB}$を$t:(1-t)$に内分した点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$を$s,\ t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．ただし，$0<s<1$，$0<t<1$とする．
(3) 線分$\mathrm{DB}$と線分$\mathrm{EA}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\displaystyle s=\frac{1}{3},\ t=\frac{2}{3}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4) $(3)$で用いた$s,\ t$の値に対し，線分$\mathrm{OF}$の中点を$\mathrm{H}$，線分$\mathrm{DE}$を$k:(1-k)$に内分した点を$\mathrm{G}$とするとき，$\mathrm{H}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{C}$が一直線上にあるときの$k$の値を求めよ．