首都大学東京
2011年 理系 第2問
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![2つの数列{a_n},{b_n}が次の漸化式で与えられているとする.{\begin{array}{l}a_1=4,b_1=3\\a_{n+1}=4a_n-3b_n(n=1,2,3,・・・)\\b_{n+1}=3a_n+4b_n(n=1,2,3,・・・)\end{array}.このとき,以下の問いに答えなさい.(1)a_2,a_3,a_4,b_2,b_3,b_4を求めなさい.(2)a_{n+4}-a_n(n=1,2,3,・・・),b_{n+4}-b_n(n=1,2,3,・・・)はともに5の倍数であることを証明しなさい.(3)a_n(n=1,2,3,・・・)もb_n(n=1,2,3,・・・)も5の倍数ではないことを証明しなさい.](./thumb/188/1493/2011_2.png)
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$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が次の漸化式で与えられているとする.
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=4,\ b_1=3 \\
a_{n+1}=4a_n-3b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_{n+1}=3a_n+4b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4,\ b_2,\ b_3,\ b_4$を求めなさい.
(2) $a_{n+4}-a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\ \ b_{n+4}-b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$はともに$5$の倍数であることを証明しなさい.
(3) $a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$も$b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$も$5$の倍数ではないことを証明しなさい.
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4,\ b_2,\ b_3,\ b_4$を求めなさい.
(2) $a_{n+4}-a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\ \ b_{n+4}-b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$はともに$5$の倍数であることを証明しなさい.
(3) $a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$も$b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$も$5$の倍数ではないことを証明しなさい.
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コメント(3件)
![]() ありがとうございました‼︎ |
![]() 作りました。(2)は素直に数学的帰納法でやるのが無難そうです。(2)はa_1,a_5,a_9,a_{13} ・・・はすべて5で割った余りが等しいことを言っています。同様に、a_2,a_6,a_{10},a_{14}・・・も5で割った余りが等しいわけです。ですから(3)で(例えばですが)a_{2015}が5の倍数であるとします。すると、a_{2011}とかa_{2007}、・・・、a_3も5の倍数になるわけです。しかし、a_1~a_4はすべて5の倍数ではありません。これは矛盾です。このように(3)は背理法でも示せます。 |
![]() 解答お願いします…‼︎ |
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