高知大学
2011年 理学部・医学部 第4問
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$n$を自然数とし，$\theta$を$\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{3}$であるような実数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $\cos (n+1)x=2 \cos nx \cos x-\cos (n-1)x$が成り立つことを示せ．
(2) $\cos n\theta$は$\displaystyle \frac{m}{3^n}$という形の分数で表されることを示せ．ただし，$m$は整数で$|m|$は3を約数にもたない．
(3) (2)を用いて$\displaystyle \frac{\theta}{\pi}$は無理数であることを示せ．
(1) $\cos (n+1)x=2 \cos nx \cos x-\cos (n-1)x$が成り立つことを示せ．
(2) $\cos n\theta$は$\displaystyle \frac{m}{3^n}$という形の分数で表されることを示せ．ただし，$m$は整数で$|m|$は3を約数にもたない．
(3) (2)を用いて$\displaystyle \frac{\theta}{\pi}$は無理数であることを示せ．
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