高知大学
2011年 理学部・医学部 第2問
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$n$を2以上の自然数とする．平面上に距離が1である2点O，P$_0$がある．中心がOで半径1の円周上に点P$_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を反時計回りに$\displaystyle \angle \text{P}_k \text{OP}_0=\frac{k\pi}{n}$となるようにとる．三角形P$_k$OP$_{k-1}$の面積を$T_k$と表し，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n T_k$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $S_2$を求めよ．
(2) $S_n$を$n$で表せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4) $e_k$を線分P$_{k-1}$P$_k$の長さとおいて，$\displaystyle E_n=\sum_{k=1}^n e_k$とする．このとき， \[ S_n=\frac{1}{2}E_n \sin \frac{(n-1) \pi}{2n} \] を示せ．
(5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}E_n$を求めよ．
(1) $S_2$を求めよ．
(2) $S_n$を$n$で表せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4) $e_k$を線分P$_{k-1}$P$_k$の長さとおいて，$\displaystyle E_n=\sum_{k=1}^n e_k$とする．このとき， \[ S_n=\frac{1}{2}E_n \sin \frac{(n-1) \pi}{2n} \] を示せ．
(5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}E_n$を求めよ．
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