$xy$平面上の原点を中心として半径1の円$C$を考える．$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$とし，$C$上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$をPとする．Pで$C$に接し，さらに$y$軸と接する円でその中心が円$C$の内部にあるものを$S$とし，その中心Qの座標を$(u,\ v)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $u$と$v$をそれぞれ$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．
(2) $\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$としたとき，点Qの軌跡の式を求めよ．さらに，その軌跡を図示せよ．
(3) 円$S$の面積を$D(\theta)$とするとき，次の値を求めよ． \[ \lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}} \frac{D(\theta)}{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta \right)^2} \]