高知大学
2015年 教育学部 第3問
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$1$辺の長さが$1$の正四面体を$\mathrm{OABC}$とし，$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{AH}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．
(4) $\triangle \mathrm{OBC}$の面積を求めよ．
(5) 正四面体の体積$V$を求めよ．
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{AH}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．
(4) $\triangle \mathrm{OBC}$の面積を求めよ．
(5) 正四面体の体積$V$を求めよ．
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