関数$f(x)$を \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{2}(x+1)x & (-1 \leqq x \leqq 0 \text{のとき}) \\ -\displaystyle\frac{1}{2}x(x-1) & (0<x \leqq 1 \text{のとき}) \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} \end{array} \right. \] とおくとき，次の問いに答えよ．
(1) $f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(2) 関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3) $y=f^\prime(x)$のグラフを$-1<x<1$の範囲でかき，$f^\prime(x)$が$x=0$で微分可能かどうかを理由をつけて述べよ．
(4) $y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．