$\{a_n\},\ \{b_n\}$を${a_n}^2-b_n \geqq 0 \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$となる数列とし，$3$次関数 \[ y=x^3+3a_nx^2+3b_nx+1 \] のグラフの接線の傾きが$0$となる接点の$x$座標のうち小さくない方を$c_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $\{a_n\},\ \{b_n\}$が$a_n=n$，$b_n=n^2$で与えられる数列のとき，$\{c_n\}$を求めよ．
(2) $\{b_n\}$を初項も公差も$0$である等差数列とする．このとき，$c_n=b_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$となるための条件を求めよ．
(3) $\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ公比が$r$，$r^2$の等比数列とする．このとき，$\{c_n\}$が等比数列になるための条件を求めよ．
(4) $\{a_n\}$が初項$100$，公差$-3$の等差数列で，$\{b_n\}$は初項$396$，公差$-12$の等差数列のとき，$\{c_n\}$を求めよ．