山形大学
2013年 工学部 第3問
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![関数f(x)=1/2x^2(x≧0)の逆関数をf^{-1}(x)とする.xy平面上に2曲線C_1:y=f(x)とC_2:y=f^{-1}(x)がある.次の問いに答えよ.(1)2曲線C_1,C_2で囲まれた図形の面積を求めよ.(2)a≧2とする.曲線C_1上の点A(a,\frac{a^2}{2})における接線をℓ_1,曲線C_2上の点B(\frac{a^2}{2},a)における接線をℓ_2とし,2直線ℓ_1,ℓ_2のなす角をθ(0<θ<π/2)とする.(i)tanθをaの式で表せ.(ii)\lim_{a→∞}sin^2θを求めよ.](./thumb/72/2158/2013_3.png)
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関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2 \ (x \geqq 0)$の逆関数を$f^{-1}(x)$とする.$xy$平面上に$2$曲線$C_1:y=f(x)$と$C_2:y=f^{-1}(x)$がある.次の問いに答えよ.
(1) $2$曲線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(2) $a \geqq 2$とする.曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{a^2}{2} \right)$における接線を$\ell_1$,曲線$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{a^2}{2},\ a \right)$における接線を$\ell_2$とし,$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする.
(ⅰ) $\tan \theta$を$a$の式で表せ.
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{a \to \infty} \sin^2 \theta$を求めよ.
(1) $2$曲線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(2) $a \geqq 2$とする.曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{a^2}{2} \right)$における接線を$\ell_1$,曲線$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{a^2}{2},\ a \right)$における接線を$\ell_2$とし,$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする.
(ⅰ) $\tan \theta$を$a$の式で表せ.
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{a \to \infty} \sin^2 \theta$を求めよ.
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