宮崎大学
2016年 教育文化(理系) 第5問
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$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は,赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている.次のような試行を考える.
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が,それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び,色を見てからもとの袋に戻す.
上の試行を$n \ \ (n \geqq 2)$回繰り返したとき,$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) $1$回の試行で,$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ.
(2) $P_2,\ P_3$を求めよ.
(3) $n \geqq 4$のとき, \[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \] が成り立つことを示せ.
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が,それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び,色を見てからもとの袋に戻す.
上の試行を$n \ \ (n \geqq 2)$回繰り返したとき,$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) $1$回の試行で,$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ.
(2) $P_2,\ P_3$を求めよ.
(3) $n \geqq 4$のとき, \[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \] が成り立つことを示せ.
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