山形大学
2010年 理学部(数理) 第3問
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行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に対して$\Delta=ad-bc$とおく.このとき,行列
\[ S=\biggl( \begin{array}{cc}
s-2 & 4-s \\
4-s & 2-s
\end{array} \biggr),\quad T=\biggl( \begin{array}{cc}
1-t & t^2-1 \\
t+1 & t-1
\end{array} \biggr) \]
について,次の問に答えよ.
(1) $S$が$\Delta=-2$を満たすとき,次の(i),(ii),(iii)に答えよ.
[(i)] $S$を求めよ. [(ii)] $S^2$を求めよ. [(iii)] $S+S^2+\cdots +S^{2n-1}+S^{2n}$を求めよ.ただし,$n$は自然数とする.
(2) $S$が$\Delta=0$を満たすとき,次の(i),(ii),(iii)に答えよ.
[(i)] $T$を求めよ. [(ii)] $T^2$を求めよ. [(iii)] $(E+T)^n$を求めよ.ただし,$E$は2次の単位行列とし,$n$は自然数とする.
(1) $S$が$\Delta=-2$を満たすとき,次の(i),(ii),(iii)に答えよ.
[(i)] $S$を求めよ. [(ii)] $S^2$を求めよ. [(iii)] $S+S^2+\cdots +S^{2n-1}+S^{2n}$を求めよ.ただし,$n$は自然数とする.
(2) $S$が$\Delta=0$を満たすとき,次の(i),(ii),(iii)に答えよ.
[(i)] $T$を求めよ. [(ii)] $T^2$を求めよ. [(iii)] $(E+T)^n$を求めよ.ただし,$E$は2次の単位行列とし,$n$は自然数とする.
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