富山大学
2012年 医学部 第3問
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行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア),(イ)を満たしているとする.
[(ア)] $A^2+A+E=O$ [(イ)] $B^2=E$
ただし,$E=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \biggr)$である.
(1) $x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき,$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ.
(2) (1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して,ベクトル$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める. \begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c} p_0 \\ q_0 \end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$が決まったとき,硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$,裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$とする. \end{itemize}
[(a)] $\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$は$\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \end{array} \biggr)$のいずれかであることを示せ. [(b)] $\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr)$となる確率を$X_n$,$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \biggr)$となる確率を$Y_n$,$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \end{array} \biggr)$となる確率を$Z_n$とするとき,$X_{n+1},\ Y_{n+1},\ Z_{n+1}$をそれぞれ$Y_n$を用いて表せ.また,$X_n$を$n$を用いて表せ.
[(ア)] $A^2+A+E=O$ [(イ)] $B^2=E$
ただし,$E=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \biggr)$である.
(1) $x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき,$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ.
(2) (1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して,ベクトル$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める. \begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c} p_0 \\ q_0 \end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$が決まったとき,硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$,裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$とする. \end{itemize}
[(a)] $\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$は$\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \end{array} \biggr)$のいずれかであることを示せ. [(b)] $\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr)$となる確率を$X_n$,$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \biggr)$となる確率を$Y_n$,$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \end{array} \biggr)$となる確率を$Z_n$とするとき,$X_{n+1},\ Y_{n+1},\ Z_{n+1}$をそれぞれ$Y_n$を用いて表せ.また,$X_n$を$n$を用いて表せ.
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