大阪薬科大学
2014年 薬学部 第3問
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次の問いに答えなさい.
辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$の$\triangle \mathrm{OAB}$について,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で表す.$n$を自然数とする.辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし,線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{X}_1$,線分$\mathrm{AX}_1$の中点を$\mathrm{X}_2$,$\cdots$,線分$\mathrm{AX}_n$の中点を$\mathrm{X}_{n+1}$,$\cdots$とする.また,$\triangle \mathrm{OAX}_1$の重心を$\mathrm{P}_1$,$\triangle \mathrm{OAX}_2$の重心を$\mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\triangle \mathrm{OAX}_n$の重心を$\mathrm{P}_n$,$\cdots$とする.同様に線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{Y}_1$,線分$\mathrm{BY}_1$の中点を$\mathrm{Y}_2$,$\cdots$,線分$\mathrm{BY}_n$の中点を$\mathrm{Y}_{n+1}$,$\cdots$とし,$\triangle \mathrm{OBY}_1$の重心を$\mathrm{Q}_1$,$\triangle \mathrm{OBY}_2$の重心を$\mathrm{Q}_2$,$\cdots$,$\triangle \mathrm{OBY}_n$の重心を$\mathrm{Q}_n$,$\cdots$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと,$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}=\fbox{$\mathrm{I}$}$,$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}=\fbox{$\mathrm{J}$}$である.
(2) 線分$\mathrm{AX}_n$の長さを$n$を用いて表すと,$\mathrm{AX}_n=\fbox{$\mathrm{K}$}$である.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}$は$n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いてどのように表されるかを求めなさい.
(4) 線分$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の長さに関する不等式 \[ 0.666666<\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \] を満たす最小の自然数$n$は$\fbox{$\mathrm{L}$}$である.ただし,$\log_{2}10=3.3219$とする.
辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$の$\triangle \mathrm{OAB}$について,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で表す.$n$を自然数とする.辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし,線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{X}_1$,線分$\mathrm{AX}_1$の中点を$\mathrm{X}_2$,$\cdots$,線分$\mathrm{AX}_n$の中点を$\mathrm{X}_{n+1}$,$\cdots$とする.また,$\triangle \mathrm{OAX}_1$の重心を$\mathrm{P}_1$,$\triangle \mathrm{OAX}_2$の重心を$\mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\triangle \mathrm{OAX}_n$の重心を$\mathrm{P}_n$,$\cdots$とする.同様に線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{Y}_1$,線分$\mathrm{BY}_1$の中点を$\mathrm{Y}_2$,$\cdots$,線分$\mathrm{BY}_n$の中点を$\mathrm{Y}_{n+1}$,$\cdots$とし,$\triangle \mathrm{OBY}_1$の重心を$\mathrm{Q}_1$,$\triangle \mathrm{OBY}_2$の重心を$\mathrm{Q}_2$,$\cdots$,$\triangle \mathrm{OBY}_n$の重心を$\mathrm{Q}_n$,$\cdots$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと,$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}=\fbox{$\mathrm{I}$}$,$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}=\fbox{$\mathrm{J}$}$である.
(2) 線分$\mathrm{AX}_n$の長さを$n$を用いて表すと,$\mathrm{AX}_n=\fbox{$\mathrm{K}$}$である.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}$は$n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いてどのように表されるかを求めなさい.
(4) 線分$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の長さに関する不等式 \[ 0.666666<\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \] を満たす最小の自然数$n$は$\fbox{$\mathrm{L}$}$である.ただし,$\log_{2}10=3.3219$とする.
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