福岡教育大学
2011年 初等教育 第3問
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正四面体は,$4$つの面が全て合同な正三角形からなる四面体である.下図のような$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$を考える.$\mathrm{OA}$,$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$とする.
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}},\quad \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{DE}} \]
とおく.次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{d}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$で表せ.
(2) $t$を実数とし,$\mathrm{F}$,$\mathrm{G}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=t \overrightarrow{d}$,$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=(2-t) \overrightarrow{d}$を満たす点とする.$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$を$t$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$で表せ.また,$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FG}}$を求めよ.
(3) $\mathrm{E}$は線分$\mathrm{FG}$の中点であることを示せ.
(4) 四角形$\mathrm{BFCG}$の面積の最小値と,そのときの$t$の値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{d}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$で表せ.
(2) $t$を実数とし,$\mathrm{F}$,$\mathrm{G}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=t \overrightarrow{d}$,$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=(2-t) \overrightarrow{d}$を満たす点とする.$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$を$t$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$で表せ.また,$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FG}}$を求めよ.
(3) $\mathrm{E}$は線分$\mathrm{FG}$の中点であることを示せ.
(4) 四角形$\mathrm{BFCG}$の面積の最小値と,そのときの$t$の値を求めよ.
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