福井大学
2013年 教育地域科学 第4問
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![Oを原点とするxy平面上に2点P(cost,0),Q(0,sint)をとる.ここで0≦t≦π/4とする.直線PQに関してOと対称な点をRとするとき,以下の問いに答えよ.ただし,直線PQが原点Oを通るときはRをOと定める.(1)点Rの座標が(sin2tsint,sin2tcost)で表されることを証明せよ.(2)tが0≦t≦π/4の範囲を動くとき,点Rの描く曲線をCと表す.曲線C上で,y座標が最大となる点の座標を求めよ.(3)曲線Cと直線y=xで囲まれる図形の面積を求めよ.](./thumb/366/2549/2013_4.png)
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$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ 0)$,$\mathrm{Q}(0,\ \sin t)$をとる.ここで$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$とする.直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の問いに答えよ.ただし,直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める.
(1) 点$\mathrm{R}$の座標が$(\sin 2t \sin t,\ \sin 2t \cos t)$で表されることを証明せよ.
(2) $t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,点$\mathrm{R}$の描く曲線を$C$と表す.曲線$C$上で,$y$座標が最大となる点の座標を求めよ.
(3) 曲線$C$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を求めよ.
(1) 点$\mathrm{R}$の座標が$(\sin 2t \sin t,\ \sin 2t \cos t)$で表されることを証明せよ.
(2) $t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,点$\mathrm{R}$の描く曲線を$C$と表す.曲線$C$上で,$y$座標が最大となる点の座標を求めよ.
(3) 曲線$C$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を求めよ.
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