広島大学
2015年 理系 第5問
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$m,\ n$を自然数とする.次の問いに答えよ.
(1) $m \geqq 2$,$n \geqq 2$とする.異なる$m$種類の文字から重複を許して$n$個を選び,$1$列に並べる.このとき,ちょうど$2$種類の文字を含む文字列は何通りあるか求めよ.
(2) $n \geqq 3$とする.$3$種類の文字$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び,$1$列に並べる.このとき$a,\ b,\ c$すべての文字を含む文字列は何通りあるか求めよ.
(3) $n \geqq 3$とする.$n$人を最大$3$組までグループ分けする.このときできたグループ数が$2$である確率$p_n$を求めよ.ただし,どのグループ分けも同様に確からしいとする.
たとえば,$n=3$のとき,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$人をグループ分けする方法は
$\{(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{B})\}$
$\{(\mathrm{B},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{A})\},\quad \{(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\}$
の$5$通りであるので,$\displaystyle p_3=\frac{3}{5}$である.
(4) $(3)$の確率$p_n$が$\displaystyle \frac{1}{3}$以下となるような$n$の範囲を求めよ.
(1) $m \geqq 2$,$n \geqq 2$とする.異なる$m$種類の文字から重複を許して$n$個を選び,$1$列に並べる.このとき,ちょうど$2$種類の文字を含む文字列は何通りあるか求めよ.
(2) $n \geqq 3$とする.$3$種類の文字$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び,$1$列に並べる.このとき$a,\ b,\ c$すべての文字を含む文字列は何通りあるか求めよ.
(3) $n \geqq 3$とする.$n$人を最大$3$組までグループ分けする.このときできたグループ数が$2$である確率$p_n$を求めよ.ただし,どのグループ分けも同様に確からしいとする.
たとえば,$n=3$のとき,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$人をグループ分けする方法は
$\{(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{B})\}$
$\{(\mathrm{B},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{A})\},\quad \{(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\}$
の$5$通りであるので,$\displaystyle p_3=\frac{3}{5}$である.
(4) $(3)$の確率$p_n$が$\displaystyle \frac{1}{3}$以下となるような$n$の範囲を求めよ.
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