山形大学
2012年 理学部(数理) 第3問
3
![nを自然数とする.このとき,次の問に答えよ.(1)\lim_{n→∞}\frac{1}{n^3}Σ_{k=1}^nk^2を求めよ.(2)0<r<1とし,S_n=1+2r+3r^2+・・・+nr^{n-1}とおく.(i)S_n-rS_nを求めよ.(ii)\lim_{n→∞}1/nS_nを求めよ.(3)a>0,b>0に対して,不等式a+b-\sqrt{ab}<\sqrt{a^2+b^2}<a+bが成り立つことを証明せよ.(4)\lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n\sqrt{\frac{1}{3^{2(k-1)}}+\frac{k^4}{n^6}}を求めよ.](./thumb/72/2157/2012_3.png)
3
$n$を自然数とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2$を求めよ.
(2) $0<r<1$とし,$S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1}$とおく.
(ⅰ) $S_n-rS_n$を求めよ.
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}S_n$を求めよ.
(3) $a>0,\ b>0$に対して,不等式 \[ a+b-\sqrt{ab}<\sqrt{a^2+b^2}<a+b \] が成り立つことを証明せよ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{\displaystyle\frac{1}{3^{2(k-1)}}+\frac{k^4}{n^6}}$を求めよ.
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2$を求めよ.
(2) $0<r<1$とし,$S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1}$とおく.
(ⅰ) $S_n-rS_n$を求めよ.
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}S_n$を求めよ.
(3) $a>0,\ b>0$に対して,不等式 \[ a+b-\sqrt{ab}<\sqrt{a^2+b^2}<a+b \] が成り立つことを証明せよ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{\displaystyle\frac{1}{3^{2(k-1)}}+\frac{k^4}{n^6}}$を求めよ.
類題(関連度順)
![](./thumb/37/2045/2014_4s.png)
![](./thumb/52/1021/2012_6s.png)
![](./thumb/465/1258/2013_1s.png)
![](./thumb/690/1920/2012_8s.png)
![](./thumb/610/2756/2014_3s.png)
![](./thumb/411/973/2014_3s.png)
![](./thumb/53/0/2016_3s.png)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。