大阪工業大学
2013年 情報科学・知的財産 第2問
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$\triangle \mathrm{OAB}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし,$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$,$\displaystyle |\overrightarrow{b}|=\frac{2}{\sqrt{3}}$,$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする.さらに,辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$,辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし,点$\mathrm{M}$を通り辺$\mathrm{OA}$に垂直な直線と点$\mathrm{N}$を通り辺$\mathrm{OB}$に垂直な直線との交点を$\mathrm{P}$とする.このとき,次の空所を埋めよ.
(1) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\fbox{ア}$である.
(2) $x,\ y$を実数とし,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とおくと,$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=(x-\fbox{イ}) \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されるので,$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{a}$より$x,\ y$の関係式は$3x+y=\fbox{ウ}$である.
また,$\overrightarrow{\mathrm{NP}} \perp \overrightarrow{b}$より,$x,\ y$の関係式は$\fbox{エ}=2$である.したがって,$x=\fbox{オ}$,$y=\fbox{カ}$である.
(1) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\fbox{ア}$である.
(2) $x,\ y$を実数とし,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とおくと,$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=(x-\fbox{イ}) \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されるので,$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{a}$より$x,\ y$の関係式は$3x+y=\fbox{ウ}$である.
また,$\overrightarrow{\mathrm{NP}} \perp \overrightarrow{b}$より,$x,\ y$の関係式は$\fbox{エ}=2$である.したがって,$x=\fbox{オ}$,$y=\fbox{カ}$である.
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