山形大学
2010年 理学部(数理) 第3問
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![行列A=\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\biggr)に対して\Delta=ad-bcとおく.このとき,行列S=\biggl(\begin{array}{cc}s-2&4-s\\4-s&2-s\end{array}\biggr),T=\biggl(\begin{array}{cc}1-t&t^2-1\\t+1&t-1\end{array}\biggr)について,次の問に答えよ.(1)Sが\Delta=-2を満たすとき,次の(i),(ii),(iii)に答えよ.\mon[(i)]Sを求めよ.\mon[(ii)]S^2を求めよ.\mon[(iii)]S+S^2+・・・+S^{2n-1}+S^{2n}を求めよ.ただし,nは自然数とする.(2)Sが\Delta=0を満たすとき,次の(i),(ii),(iii)に答えよ.\mon[(i)]Tを求めよ.\mon[(ii)]T^2を求めよ.\mon[(iii)](E+T)^nを求めよ.ただし,Eは2次の単位行列とし,nは自然数とする.](./thumb/72/2157/2010_3.png)
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行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に対して$\Delta=ad-bc$とおく.このとき,行列
\[ S=\biggl( \begin{array}{cc}
s-2 & 4-s \\
4-s & 2-s
\end{array} \biggr),\quad T=\biggl( \begin{array}{cc}
1-t & t^2-1 \\
t+1 & t-1
\end{array} \biggr) \]
について,次の問に答えよ.
(1) $S$が$\Delta=-2$を満たすとき,次の(i),(ii),(iii)に答えよ.
[(i)] $S$を求めよ. [(ii)] $S^2$を求めよ. [(iii)] $S+S^2+\cdots +S^{2n-1}+S^{2n}$を求めよ.ただし,$n$は自然数とする.
(2) $S$が$\Delta=0$を満たすとき,次の(i),(ii),(iii)に答えよ.
[(i)] $T$を求めよ. [(ii)] $T^2$を求めよ. [(iii)] $(E+T)^n$を求めよ.ただし,$E$は2次の単位行列とし,$n$は自然数とする.
(1) $S$が$\Delta=-2$を満たすとき,次の(i),(ii),(iii)に答えよ.
[(i)] $S$を求めよ. [(ii)] $S^2$を求めよ. [(iii)] $S+S^2+\cdots +S^{2n-1}+S^{2n}$を求めよ.ただし,$n$は自然数とする.
(2) $S$が$\Delta=0$を満たすとき,次の(i),(ii),(iii)に答えよ.
[(i)] $T$を求めよ. [(ii)] $T^2$を求めよ. [(iii)] $(E+T)^n$を求めよ.ただし,$E$は2次の単位行列とし,$n$は自然数とする.
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