慶應義塾大学
2015年 薬学部 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) 次の問いに答えよ.
(ⅰ) $f(x,\ y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2$を因数分解すると, \[ \left(x+\fbox{$1$}y+\fbox{$2$} \right) \left(\fbox{$3$}x+\fbox{$4$}y-\fbox{$5$} \right) \] である.
(ⅱ) $f(x,\ y)=56$を満たす自然数$x,\ y$の値は,$x=\fbox{$6$}$,$y=\fbox{$7$}$である.
(2) $xy$平面上の$2$直線$y=x+4 \sin \theta+1$,$y=-x+4 \cos \theta-3$の交点を$\mathrm{P}$とおく.ただし,$\theta$は実数とする.
(ⅰ) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$のとき,点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \sqrt{\fbox{$8$}}-\fbox{$9$},\ \sqrt{\fbox{$10$}}-\fbox{$11$} \right)$である.
(ⅱ) $\theta$が実数全体を動くとき,点$\mathrm{P}$の軌跡は \[ x^2+y^2+\fbox{$12$}x+\fbox{$13$}y-\fbox{$14$}=0 \] である.
(3) $2$次関数$f(x)$は,すべての実数$x$について \[ \int_0^x f(t) \, dt=xf(x)-\frac{4}{3}x^3+ax^2 \] を満たす.ただし,$a$は実数である.また,$f(0)=a^2-a-6$である.このとき,
(ⅰ) $f(x)=\fbox{$15$}x^2-\fbox{$16$}ax+\left( a+\fbox{$17$} \right) \left( a-\fbox{$18$} \right)$である.
(ⅱ) 方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は \[ \fbox{$19$}\fbox{$20$}<a \leqq \fbox{$21$}+\sqrt{\fbox{$22$}\fbox{$23$}} \] である.
(4) $\{a_n\}$は,数字の$1$と$2$だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である. \[ \{a_n\} : \ 1,\ 2,\ 11,\ 12,\ 21,\ 22,\ 111,\ \cdots \] このとき,
(ⅰ) $a_{10}=\fbox{$24$}\fbox{$25$}\fbox{$26$}$,$a_{15}=\kakkofour{$27$}{$28$}{$29$}{$30$}$である.
(ⅱ) $\displaystyle \sum_{k=7}^{14} a_k=\kakkofour{$31$}{$32$}{$33$}{$34$}$である.
(ⅲ) $\{a_n\}$のうち,$m$桁である項の総和は$\displaystyle \frac{{\fbox{$35$}}^{m-1} \left\{ \left(\fbox{$36$}\fbox{$37$} \right)^m-\fbox{$38$} \right\}}{\fbox{$39$}}$である.
(1) 次の問いに答えよ.
(ⅰ) $f(x,\ y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2$を因数分解すると, \[ \left(x+\fbox{$1$}y+\fbox{$2$} \right) \left(\fbox{$3$}x+\fbox{$4$}y-\fbox{$5$} \right) \] である.
(ⅱ) $f(x,\ y)=56$を満たす自然数$x,\ y$の値は,$x=\fbox{$6$}$,$y=\fbox{$7$}$である.
(2) $xy$平面上の$2$直線$y=x+4 \sin \theta+1$,$y=-x+4 \cos \theta-3$の交点を$\mathrm{P}$とおく.ただし,$\theta$は実数とする.
(ⅰ) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$のとき,点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \sqrt{\fbox{$8$}}-\fbox{$9$},\ \sqrt{\fbox{$10$}}-\fbox{$11$} \right)$である.
(ⅱ) $\theta$が実数全体を動くとき,点$\mathrm{P}$の軌跡は \[ x^2+y^2+\fbox{$12$}x+\fbox{$13$}y-\fbox{$14$}=0 \] である.
(3) $2$次関数$f(x)$は,すべての実数$x$について \[ \int_0^x f(t) \, dt=xf(x)-\frac{4}{3}x^3+ax^2 \] を満たす.ただし,$a$は実数である.また,$f(0)=a^2-a-6$である.このとき,
(ⅰ) $f(x)=\fbox{$15$}x^2-\fbox{$16$}ax+\left( a+\fbox{$17$} \right) \left( a-\fbox{$18$} \right)$である.
(ⅱ) 方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は \[ \fbox{$19$}\fbox{$20$}<a \leqq \fbox{$21$}+\sqrt{\fbox{$22$}\fbox{$23$}} \] である.
(4) $\{a_n\}$は,数字の$1$と$2$だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である. \[ \{a_n\} : \ 1,\ 2,\ 11,\ 12,\ 21,\ 22,\ 111,\ \cdots \] このとき,
(ⅰ) $a_{10}=\fbox{$24$}\fbox{$25$}\fbox{$26$}$,$a_{15}=\kakkofour{$27$}{$28$}{$29$}{$30$}$である.
(ⅱ) $\displaystyle \sum_{k=7}^{14} a_k=\kakkofour{$31$}{$32$}{$33$}{$34$}$である.
(ⅲ) $\{a_n\}$のうち,$m$桁である項の総和は$\displaystyle \frac{{\fbox{$35$}}^{m-1} \left\{ \left(\fbox{$36$}\fbox{$37$} \right)^m-\fbox{$38$} \right\}}{\fbox{$39$}}$である.
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コメント(2件)
2015-08-22 05:23:33
作りました。 |
2015-08-21 08:26:28
解答が知りたいです。お願いします。 |
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